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ラムダ計算と再帰

1/2/2020, 2:43:45 PM - 198 days ago

まず、 $(\lambda x. F(x x)) (\lambda x. F(x x))$ という式をβ簡約してみると、

\begin{aligned} & (\lambda x. F(x x)) (\lambda x. F(x x)) \\ \to &[(\lambda x. F(x x)) / x] F(x x) \\ = & F ((\lambda x. F(x x)) (\lambda x. F(x x))) \end{aligned}

となる。つまり $M_F = (\lambda x. F(x x)) (\lambda x. F(x x))$ とおくと、 $=_{\beta}$ をβ簡約を含む最小の同値関係として、

M_F =_{\beta} F (M_F)

となるから、 $M_F$ は関数 $F$ の不動点である。

次に、 $Y = \lambda f. M_f = \lambda f. (\lambda x. f(x x)) (\lambda x. f(x x))$ とすると、前の結果と同様に、

Y F =_{\beta} F (Y F)

このことから、 $Y$ は任意の関数 $F$ を引数として受け取ってその $F$ の不動点を返すような関数（不動点演算子）になっていることがわかる。

不動点演算子 $Y$ を使うことで、ラムダ計算で再帰を表現することができる。
表現したい再帰関数 $F$ がある関数 $G$ の不動点になっていることが分かれば、 $Y G$ によって $F$ を定められるという仕組みだ。

例えば、階乗を求める $fact$ をラムダ計算で表現したいとする。 $fact$ は等式

f = \lambda n. \ \mathrm{if} \ n = 0 \ \mathrm{then} \ 1 \ \mathrm{else} \ n \cdot f (n - 1)

を満たす。ここで、

factgen = \lambda f. \lambda n. \ \mathrm{if} \ n = 0 \ \mathrm{then} \ 1 \ \mathrm{else} \ n \cdot f (n - 1)

と定義してやれば、 $fact$ は $f = factgen \ f$ を満たすことになるので、 $fact$ は $factgen$ の不動点になっていることがわかる。
よって、不動点演算子を用いて $fact = Y \ factgen$ と書ける。

実際にプログラミング言語で実装してみよう。ただし、不動点演算子 $Y$ （Yコンビネータと呼ばれる）をこの形のまま乗せることはできない（引数を評価しないまま式が再帰的に展開され、無限ループに陥ってしまうため）。そこで、η変換（ $M \to \lambda x. M x$ ）を Yコンビネータに施した、

\lambda f. (\lambda x. f(\lambda y. x x y)) (\lambda x. f(\lambda y.x x y))

を代わりに使おう（これはZコンビネータと呼ばれる）。

Python での実装例:

Z = lambda f: (lambda x: f (lambda y: x(x)(y)))(lambda x: f (lambda y: x(x)(y)))

factgen = lambda f: (lambda n: 1 if (n == 0) else n * f (n - 1))

fact = Z (factgen)

fact(10)
# 3628800